2024高考数学19题题型模拟试卷解析

最佳答案：

题目概述

此题为数列与新定义结合的压轴题，要求考生理解并应用新定义的“可分数列”概念，解决相关问题。

题目解析

1. 第一小问

- 根据新定义，找出数列$a_1, a_2, ldots, a_6$中所有可能的$(i, j)$，使其成为$(i, j)$-可分数列。

- 通过尝试不同的$i$和$j$，发现当$(i, j)$为$(1, 2)$、$(1, 6)$、$(5, 6)$时，数列满足条件。

2. 第二小问

- 证明当$m geq 3$时，数列$a_1, a_2, ldots, a_{4m 2}$是$(2, 13)$-可分数列。

- 当$m = 3$时，构造分组$(a_1, a_4, a_7, a_{10})$、$(a_3, a_6, a_9, a_{12})$、$(a_5, a_8, a_{11}, a_{14})$，满足定义。

- 当$m > 3$时，前三个分组保持不变，后续每四个数一组，也满足等差数列的要求。

3. 第三小问

- 计算数列$a_1, a_2, ldots, a_{4m 2}$是$(i, j)$-可分数列的概率$P_m$，并证明$P_m > frac{1}{8}$。

- 分析所有可能的$(i, j)$组合，包括紧邻型、隔断型和特殊型。

- 计算每种类型的组合数，并求和得到总组合数。

- 通过比较总组合数与所有可能组合数，证明$P_m > frac{1}{8}$。

总结

此题考察了考生对新定义的理解和应用能力，以及数列和组合数学的知识。解题过程中，需要仔细分析题目条件，合理构造数列分组，并进行严谨的证明和计算。