二次函数经典例题20题含答案免费
最佳答案：
例题1
已知二次函数$y = x^2 - 4x 3$，求其顶点坐标和与x轴的交点坐标。
答案1
顶点坐标为$(2, -1)$，与x轴的交点坐标为$(1, 0)$和$(3, 0)$。
例题2
某商品的成本价为每件20元，售价为每件30元，每天可销售100件。市场调研表明，售价每上涨1元，每天的销售量将减少5件。求售价定为多少时，每天的利润最大？
答案2
设售价上涨$x$元，则每天的销售量为$100 - 5x$件，利润$y = (30 x - 20)(100 - 5x) = -5x^2 50x 1000$。当$x = 5$时，利润最大，此时售价为35元。
例题3
如图，抛物线$y = ax^2 bx c$经过点$A(-1, 0)$、$B(3, 0)$和$C(0, -3)$，求其解析式。
答案3
将点的坐标代入解析式，得方程组：
egin{cases}
a - b c = 0 \
9a 3b c = 0 \
c = -3
end{cases}
解得$a = 1$，$b = -2$，$c = -3$，所以解析式为$y = x^2 - 2x - 3$。
例题4
已知抛物线$y = x^2 2x - 3$，在其对称轴上是否存在一点$P$，使得$ riangle PAB$为等腰三角形？若存在，求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由。
答案4
抛物线的对称轴为$x = -1$，设$P(-1, y)$。计算$PA$、$PB$的长度，分$PA = PB$、$PA = AB$、$PB = AB$三种情况讨论，可求得点$P$的坐标为$(-1, 2)$或$(-1, -2)$或$(-1, 1)$或$(-1, -5)$。
例题5
二次函数$y = x^2 - 2x - 3$的图象与x轴交于$A$、$B$两点，与y轴交于点$C$，求$ riangle ABC$的面积。
答案5
$A(-1, 0)$，$B(3, 0)$，$C(0, -3)$，所以$AB = 4$，$OC = 3$，$ riangle ABC$的面积为$S = frac{1}{2} imes AB imes OC = 6$。
例题6
将抛物线$y = 2x^2$先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，求所得抛物线的解析式。
答案6
所得抛物线的解析式为$y = 2(x - 3)^2 - 2$。
例题7
已知二次函数$y = ax^2 bx c$的部分对应值如下表：
x -2 -1 0 1 2
--- --- --- --- --- ---
y 5 0 -3 -4 -3
求该二次函数的解析式。
答案7
将表中的点代入解析式，得方程组：
egin{cases}
4a - 2b c = 5 \
a - b c = 0 \
c = -3 \
a b c = -4
end{cases}
解得$a = 1$，$b = -2$，$c = -3$，所以解析式为$y = x^2 - 2x - 3$。
例题8
如图，抛物线$y = x^2 - 2x - 3$与x轴交于$A$、$B$两点，顶点为$C$，求$ riangle ABC$外接圆的圆心坐标。
答案8
$A(-1, 0)$，$B(3, 0)$，$C(1, -4)$，$ riangle ABC$外接圆的圆心坐标为$(1, -1)$。
例题9
已知二次函数$y = x^2 - 4x 3$，在其图象上是否存在一点$P$，使得$ riangle PAB$的面积最大？若存在，求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由。
答案9
$A(1, 0)$，$B(3, 0)$，$AB = 2$，当点$P$到$AB$的距离最大时，$ riangle PAB$的面积最大。点$P$为抛物线的顶点$(2, -1)$。
例题10
某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25米），另三边用总长为40米的篱笆围成，求鸡场的最大面积。
答案10
设与墙平行的一边长为$x$米，则另一边长为$frac{40 - x}{2}$米，面积$S = x imes frac{40 - x}{2} = -frac{1}{2}x^2 20x$。当$x = 20$时，面积最大，最大面积为200平方米。
例题11
已知二次函数$y = x^2 - 2x - 3$，当$-1 leq x leq 4$时，求函数的最大值和最小值。
答案11
当$x = 4$时，函数的最大值为5；当$x = 1$时，函数的最小值为-4。
例题12
如图，抛物线$y = x^2 - 2x - 3$与x轴交于$A$、$B$两点，与y轴交于点$C$，点$P$是抛物线上的动点，求$ riangle PBC$面积的最大值。
答案12
设$P(x, x^2 - 2x - 3)$，则$ riangle PBC$的面积为$S = frac{1}{2} imes 3 imes x^2 - 2x - 3 3 = frac{3}{2} x^2 - 2x $。当$x = 1$时，面积的最大值为$frac{3}{2}$。
例题13
将抛物线$y = x^2$先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，求所得抛物线的解析式。
答案13
所得抛物线的解析式为$y = (x 3)^2 2$。
例题14
已知二次函数$y = ax^2 bx c$的部分对应值如下表：
x -1 0 1 2 3
--- --- --- --- --- ---
y 0 3 4 3 0
求该二次函数的解析式。
答案14
将表中的点代入解析式，得方程组：
egin{cases}
a - b c = 0 \
c = 3 \
a b c = 4 \
4a 2b c = 3 \
9a 3b c = 0
end{cases}
解得$a = -1$，$b = 2$，$c = 3$，所以解析式为$y = -x^2 2x 3$。
例题15
如图，抛物线$y = x^2 - 2x - 3$与x轴交于$A$、$B$两点，顶点为$C$，求$ riangle ABC$的内切圆半径。
答案15
$A(-1, 0)$，$B(3, 0)$，$C(1, -4)$，$ riangle ABC$的面积为6，周长为$4 4 2sqrt{5} = 8 2sqrt{5}$，内切圆半径为$r = frac{2S}{a b c} = frac{12}{8 2sqrt{5}} = 3 - sqrt{5}$。
例题16
已知二次函数$y = x^2 - 4x 3$，在其图象上是否存在一点$P$，使得$ riangle PAB$为等腰直角三角形？若存在，求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由。
答案16
$A(1, 0)$，$B(3, 0)$，$AB = 2$，设$P(x, x^2 - 4x 3)$。分$PA = PB$、$PA = AB$、$PB = AB$三种情况讨论，可求得点$P$的坐标为$(2, -1)$或$(2 sqrt{2}, 1)$或$(2 - sqrt{2}, 1)$。
例题17
某商品的成本价为每件10元，售价为每件20元，每天可销售200件。市场调研表明，售价每下降1元，每天的销售量将增加50件。求售价定为多少时，每天的利润最大？
